Was sind komplexe Zahlen?

Komplexe Zahlen sind Zahlen, die aus zwei Teilen bestehen - einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl. Komplexe Zahlen sind die Bausteine ÔÇőÔÇőfür kompliziertere Mathematik wie Algebra. Sie können auf viele Aspekte des realen Lebens angewendet werden, besonders in der Elektronik und Elektromagnetismus.

Das Standardformat für komplexe Zahlen ist a + bi, mit der reellen Zahl zuerst und der imaginären Zahl zuletzt. Da jeder Teil 0 sein könnte, kann technisch jede reelle Zahl oder imaginäre Zahl als eine komplexe Zahl betrachtet werden. Komplex bedeutet nicht kompliziert; es bedeutet, dass sich die beiden Arten von Zahlen zu einem Komplex verbinden, wie ein Wohnkomplex - eine Gruppe von Gebäuden, die miteinander verbunden sind.

Reale Zahlen sind greifbare Werte, die in einer horizontalen Zahlenzeile dargestellt werden können, z. B. Brüche, ganze Zahlen oder eine beliebige zählbare Zahl. Imaginäre Zahlen sind abstrakte Konzepte, die verwendet werden, wenn Sie die Quadratwurzel einer negativen Zahl benötigen.

Komplexe Zahlen addieren und multiplizieren

Da eine komplexe Zahl ein Binomial ist - ein numerischer Ausdruck mit zwei Termen - wird die Arithmetik im Allgemeinen auf die gleiche Weise wie jedes Binom durchgeführt, indem die gleichen Terme kombiniert und vereinfacht werden. Beispielsweise:

(3 + 2i) + (4 - 4i)

(3 + 4) = 7

(2i - 4i) = -2i

Das Ergebnis ist 7-2i.

Für die Multiplikation verwenden Sie die FOIL-Methode für die Polynommultiplikation: Multiplizieren Sie den Ersten, multiplizieren Sie den Äußeren, multiplizieren Sie den Inneren, multiplizieren Sie den Letzten, und fügen Sie dann hinzu. Beispielsweise:

(3-2i) (5 + 3i) =

(3) (5) + (3) (3i) + (-2i) (5) + (-2i) (3i) =

15 + 9i + -10i + -6i2 =

15 - i - 6 (-1) =

21 - ich

Der Grund dass ich2 vereinfacht zu (-1) ist weil ich ist die Quadratwurzel von -1.

Komplexe Zahlen teilen

Die Division wird jedoch komplizierter und erfordert die Verwendung von Konjugaten. Komplexe Konjugate sind Paare komplexer Zahlen, die unterschiedliche Vorzeichen haben, wie z (a + bi) und (a - bi). Multiplikation komplexer Konjugate bewirkt, dass der mittlere Term aufgehoben wird. Beispielsweise:

(a + bi) (a - bi) = a2 - abi + abi - (bi)2

Dies vereinfacht zu a2 - b2(ich2) = a2 - b2(-1)

Das Endergebnis ist a2 + b2

Wenn Sie komplexe Zahlen teilen, bestimmen Sie das Konjugierte des Nenners und multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner mit dem Konjugierten. Beispielsweise,

(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)

Das Konjugat von 7 + 4i ist 7 - 4i. Multiplizieren Sie also Zähler und Nenner mit dem Konjugierten:

(5 + 2i) (7 - 4i) ÷ (7 + 4i) (7 - 4i) =

(35 + 14i - 20i - 8i2) ÷ (49 - 28i + 28i - 16i2 ) =

(35 - 6i + 8) ÷ (49 + 16) =

(43 - 6i) ÷ 65

Absoluter Wert komplexer Zahlen

Der absolute Wert einer Zahl wird als ihr Abstand von Null auf der Zahlenzeile betrachtet. Da komplexe Zahlen imaginäre Zahlen enthalten, können sie nicht auf der reellen Zahlenlinie gezeichnet werden. Sie können jedoch von Null auf der komplexen Zahlenebene gemessen werden, die eine x-Achse (für die reelle Zahl) und die y-Achse (für die imaginäre Zahl) enthält.

Verwendung von komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen können zum Lösen von Quadraten für Nullen verwendet werden. Die quadratische Formel löst Axt2 + bx + c = 0 für die Werte von x. Wenn die Formel ein Minus in der Quadratwurzel liefert, können komplexe Zahlen verwendet werden, um die Nullstelle zu vereinfachen.

Komplexe Zahlen werden in der Elektronik und Elektromagnetismus verwendet. Eine einzelne komplexe Zahl fasst zwei reelle Mengen zusammen, wodurch die Zahlen leichter zu verarbeiten sind. Zum Beispiel wird in der Elektronik der Zustand eines Schaltungselements durch die Spannung (V) und den Strom (I) definiert. Schaltungselemente können auch eine Kapazität (c) und eine Induktivität (L) aufweisen, die die Tendenz der Schaltung beschreiben, Veränderungen in V und I zu widerstehen. Anstatt den Zustand des Schaltungselements durch V und I zu beschreiben, kann er als beschrieben werden z = V + Ii. Die Gesetze der Elektrizität können dann durch Addition und Multiplikation komplexer Elemente ausgedrückt werden.

Wie bereits erwähnt, kann dies auch auf den Elektromagnetismus angewendet werden. Anstatt als elektrische Feldstärke und magnetische Feldstärke beschrieben zu werden, können Sie eine komplexe Zahl erstellen, bei der die elektrischen und magnetischen Komponenten die reellen und imaginären Zahlen sind.

Weiterführende Literatur:

Komplexer Zahlenrechner

Mathe macht Spaß: Komplexe Zahlen

Math Warehouse: Komplexe Zahlen

Schau das Video: Die Komplexen Zahlen - Einf├╝hrung

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